球坐标系

Spherical Coordinate System

一种三维坐标系统，处理具有球对称性的问题。

以下是球坐标系的精确数学描述：

坐标表示：
- 在球坐标系中，一个点的位置由三个坐标 $(r, θ, ϕ)$ 表示。
- $r$ 是径向距离，即从原点到点的直线距离。
- $θ$ 是极角（或称余角），是从正 Z 轴到点的径向向量与 Z 轴之间的角度。
- $ϕ$ 是方位角，是从正 X 轴到点的径向向量在 XY 平面上的投影与 X 轴之间的角度。
坐标转换：
- 球坐标系到笛卡尔坐标系的转换公式为：

\begin{aligned} x & = r \sin (θ) \cos (ϕ), \\ y & = r \sin (θ) \sin (ϕ), \\ z & = r \cos (θ) . \end{aligned}

\begin{aligned} r & = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \\ θ & = \arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}), 如果 x^{2} + y^{2} \neq 0, \\ ϕ & = \arctan (\frac{y}{x}), 如果 x \neq 0, \\ ϕ & = \arctan (\frac{y}{x}) + π, 如果 x < 0 且 y \geq 0, \\ ϕ & = \arctan (\frac{y}{x}) - π, 如果 x < 0 且 y < 0. \end{aligned}

这里 $\arccos$ 表示反余弦函数， $\arctan$ 表示反正切函数。

坐标轴：
- 径向轴 $r$ ：从原点出发，指向空间中的任意点。
- 极轴 $θ$ ：与 Z 轴平行，用于确定点在球面上的高度。
- 方位轴 $ϕ$ ：在 XY 平面上，用于确定点在球面上的水平位置。
应用：
- 球坐标系常用于解决涉及球对称性的问题，如天体物理学、地球物理学、量子力学中的原子模型等。
积分和微分：
- 在球坐标系中进行积分和微分时，需要考虑 $r$ 、 $θ$ 和 $ϕ$ 的变化对体积元素的影响。例如，体积元素 $d V$ 在球坐标系中表示为：

d V = r^{2} \sin (θ) d r d θ d ϕ .

这个表达式反映了球坐标系中体积元素的几何特性。

球坐标系提供了一种直观的方式来描述和解决涉及球对称性的物理和工程问题，特别是在处理与球体或球面相关的问题时非常有用。